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Springer Press：Geometric Curve Evolution and Image Processing PDF文件Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VPart I The curve smoothing problem1 Curve evolution and image processing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1 Shape recognition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.1 Axioms for shape recognition... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2 ... and their consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Curve smoothing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.1 The linear curve scale space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2 Towards an intrinsic heat equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 An axiomatic approach of curve evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.1 Basic requirements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.2 First conclusions and first models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4 Image and contour smoothing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5.1 Active contours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5.2 Principles of a shape recognition algorithm . . . . . . . . . . . . . . 171.5.3 Optical character recognition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.6 Organization of the volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.7 Bibliographical notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Rudimentary bases of curve geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1 Jordan curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Length of a curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3 Euclidean parameterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4 Motion of graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27VIII ContentsPart II Theoretical curve evolution3 Geometric curve shortening flow. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1 What kind of equations for curve smoothing? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.1.1 Invariant flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.1.2 Symmetry group of flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2 Differential invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.1 General form of invariant flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.2 The mean curvature flow is the Euclidean intrinsic heat flow 423.2.3 The affine invariant flow: the simplest affine invariantcurve flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3 General properties of second order parabolic flows: a digest . . . . . . 463.3.1 Existence and uniqueness for mean curvature and affineflows. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.3.2 Short-time existence in the general case . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3.3 Evolution of convex curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3.4 Evolution of the length . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.3.5 Evolution of the area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.4 Smoothing staircases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.5 Bibliographical notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534 Curve evolution and level sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.1 From curve operators to function operators and vice versa . . . . . . . . 574.1.1 Signed distance function and supporting function . . . . . . . . 574.1.2 Monotone and translation invariant operators . . . . . . . . . . . . 574.1.3 Level sets and their properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.1.4 Extension of sets operators to functions operators . . . . . . . . 604.1.5 Characterization of monotone, contrast invariant operator . 624.1.6 Asymptotic behavior of morphological operators . . . . . . . . . 644.1.7 Morphological operators yield PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.2 Curve evolution and Scale Space theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.2.1 Multiscale analysis are given by PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.2.2 Morphological scale space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.3 Viscosity solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.3.1 Definition of viscosity solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.3.2 Proof of uniqueness: the maximum principle . . . . . . . . . . . . 804.3.3 Existence of solution by Perron’s Method . . . . . . . . . . . . . . . 854.3.4 Contrast invariance of level sets flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.3.5 Viscosity solutions shorten level lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.4 Morphological operators and viscosity solution. . . . . . . . . . . . . . . . . 904.4.1 Median filter and mean curvature motion . . . . . . . . . . . . . . . 904.4.2 Affine invariant schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.6 Curvature thresholding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Contents IX4.6.1 Viscosity approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.6.2 Opening and closing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.7 Alternative weak solutions of curve evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.7.1 Brakke’s varifold solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.7.2 Reaction diffusion approximation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.7.3 Minimal barriers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.8 Bibliographical notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Part III Numerical curve evolution5 Classical numerical methods for curve evolution . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.1 Parametric methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.1.1 Finite difference methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.1.2 Finite element schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.2 Non parametric methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.2.1 Sethian’s level sets methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.2.2 Alvarez and Guichard’s finite differences scheme . . . . . . . . 1095.2.3 A monotone and convergent finite difference schemes . . . . . 1095.2.4 Bence, Merriman and Osher scheme for mean curvaturemotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.2.5 Elliptic regularization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106 A geometrical scheme for curve evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.1 Preliminary definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126.2 Erosion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.3 Properties of the erosion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.4 Erosion and level sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.4.1 Consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.4.2 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246.5 Evolution by a power of the curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246.5.1 Consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.5.2 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.6 A numerical implementation of the erosion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.6.1 Scale covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.6.2 General algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356.6.3 Eroded set and envelope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1366.6.4 Swallow tails . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1386.7 Numerical experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.7.1 Evolving circles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.7.2 Convex polygons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.7.3 Unclosed curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.7.4 Evolving non convex curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.7.5 Invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1506.7.6 Numerical maximum principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152X Contents6.7.7 Image filtering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1566.8 Bibliographical notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166Conclusion and perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Open problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169A Proof of Thm. 4.34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185


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